1.3 指数信号与正弦信号
\qquad下面介绍的信号是信号与系统中最重要的信号，它们不仅仅作为信号经常出现，同时也可以作为基本的信号构造单元来构成其他更多复杂的信号。
1.3.1 连续时间复指数信号与正弦信号
\qquad连续时间复指数信号(complex exponential signal)具有如下形式：
x(t)=Ceat(1,15)
x(t)=Ce^{at}
\tag{1,15}
x(t)=Ceat(1,15)
其中CCC和aaa一般为复数。
(一)实指数信号
\qquad当CCC和aaa都是实数，这时的x(t)x(t)x(t)便称为实指数信号，如下图所示。
∙\qquad\bull\quad∙当aaa为正实数，则x(t)x(t)x(t)指数上升，可以描述原子爆炸或复杂化学反应中的连锁反应等许多物理过程。
∙\qquad\bull\quad∙当aaa为负实数，则x(t)x(t)x(t)指数下降，可以描述放射性衰变、RC电路以及有阻尼的机械系统的响应等现象。
(二)周期复指数和正弦信号
∙\qquad\bull\quad∙将aaa限制为纯虚数则变成周期复指数信号，特别是如下信号：
x(t)=ejω0t(1.16)
x(t)=e^{j\omega_0t}
\tag{1.16}
x(t)=ejω0t(1.16)
该信号有一个非常重要的性质：具有周期性。当ω0≠0\omega_0\ne0ω0=0时，其基波周期为：T=2π∣ω0∣\displaystyle T=\frac{2\pi}{|\omega_0|}T=∣ω0∣2π。
∙\qquad\bull\quad∙与周期复指数信号密切相关的一种信号便是正弦信号(sinusoidal signal)
x(t)=Acos(ω0t+ϕ)(1.17)
x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi)
\tag{1.17}
x(t)=Acos(ω0t+ϕ)(1.17)
二者之间的关系如下，由欧拉公式作为联系：
cos(ω0t)=12(ejω0t+e−jω0t)(1.18)
\cos(\omega_0t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})
\tag{1.18}
cos(ω0t)=21(ejω0t+e−jω0t)(1.18)
ejω0t=cos(ω0t)+jsin(ω0t)(1,19)
e^{j\omega_0t}=\cos(\omega_0t)+j\sin(\omega_0t)
\tag{1,19}
ejω0t=cos(ω0t)+jsin(ω0t)(1,19)
∙\qquad\bull\quad∙正弦和周期复指数信号也可以描述很多物理过程，尤其是存储能量的物理过程，如LC电路的自然响应、机械系统的简谐运动以及音乐中的单音声压振动等。
∙\qquad\bull\quad∙考虑式(1.16)的复指数信号，我们可以得到其周期平均功率为1，即Pperiod=1P_{\rm period}=1Pperiod=1
(三)一般复指数信号
先回顾复指数信号的定义：
连续时间复指数信号(complex exponential signal)具有如下形式：
x(t)=Ceat
x(t)=Ce^{at}
x(t)=Ceat
其中CCC和aaa一般为复数。
\qquad此时，我们取CCC和aaa为普遍意义上的复数，其中CCC我们用极坐标表示，而aaa用笛卡尔坐标表示：
{C=∣C∣ejθa=r+jω0(1.20)
\begin{cases}
C=|C|e^{j\theta}\\\\
a=r+j\omega_0
\end{cases}
\tag{1.20}
⎩⎪⎨⎪⎧C=∣C∣ejθa=r+jω0(1.20)
\qquad将上展开式代入x(t)=Ceatx(t)=Ce^{at}x(t)=Ceat中可得：
x(t)=∣C∣ertej(ω0t+θ)(1,21)
x(t)=|C|e^{rt}e^{j(\omega_0t+\theta)}
\tag{1,21}
x(t)=∣C∣ertej(ω0t+θ)(1,21)
其中，∣C∣ert|C|e^{rt}∣C∣ert为该复指数信号的振幅，对信号振荡有包络的作用，如下图：
\qquad具有指数衰减振幅的正弦信号常称为阻尼正弦振荡(damped sinusoids)
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